Лобачевский - биография математика, вклад в геометрию, факты

Слайд 2Введение.Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также

их обобщения. Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. «Начала» Евклида служили на протяжении более 2000 лет образцом строгого дедуктивного изложения геометрии.

Слайд 10Но, опасаясь насмешек, он воздерживался от публикации этих идей и тем

самым позволил разделить честь открытия гиперболической геометрии (примерно в 1825) венгру Яношу Бояй (1802-1860) и русскому Н. И. Лобачевскому (1793-1856). Бояй опубликовал свою работу до того, как услышал о Лобачевском, а последний, судя по всему, так никогда и не узнал об исследованиях Бояй. В 1854 Б. Риман (1826-1866) заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок (если отвлечься от небольшой детали, связанной с тем, что свет, отраженный от затылка, достиг бы глаза астронома через тысячи миллионов лет).

Янош Бояй

Литература[править | править код]

Труды основоположников

Лобачевский Н. И. Геометрические исследования по теории параллельных линий // Казанский вестник. — Казань: Императорский Казанский университет, 1829—1830. — № 25—29.
Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. М.: Гостехиздат, 1956.

Современная литература

Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Москва: Наука, 1990.
Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — Москва: УРСС, 2007.
Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского. — Москва: Гостехиздат, 1956.
Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Попов А. Г. Геометрия Лобачевского: открытие и путь в современность» // Природа. — 1993. — № 7. — С. 19—27.
Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. — М.: ГИТТЛ, 1953. — 248 с.
Розенфельд Б. А. Интерпретации геометрии Лобачевского // Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1956. — № 9. — С. 169—208.
Успенский Я. В. Введение в неевклидову геометрию Лобачевского — Болиаи. — Петроград: «Сеятель» Е. В. Высоцкого, 1922. — 180 с.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — Москва: Физматлит, 2009.

Биография Лобачевского

Николай Лобачевский появился на свет 20 ноября (1 декабря) 1792 г. в Нижнем Новгороде. Он рос и воспитывался в семье чиновника, Ивана Максимовича, и его супруги, Прасковьи Александровны.

Кроме Николая в семье Лобачевских родилось еще двое сыновей – Александр и Алексей.

Детство и юность

Николай Лобачевский лишился отца еще в раннем детстве, когда тот скончался от тяжелой болезни в 40-летнем возрасте.

В результате, матери пришлось одной воспитывать и содержать троих детей. В 1802 г. женщина отдала всех сыновей в Казанскую гимназию на «казенное разночинское содержание».

Николай получал высокие отметки по всем дисциплинам. Особенно хорошо ему давались точные науки, а также изучение иностранных языков.

Именно в тот период биографии у Лобачевского начал проявляться большой интерес к математике.

По окончании гимназии, Николай продолжил учебу в Казанском университете. Помимо физико-математических наук студент увлекался химией и фармакологией.

Хотя Лобачевский считался весьма прилежным учеником, иногда он позволял себе разные шалости. Известен случай, когда он вместе с товарищами был посажен в карцер, за запуск самодельной ракеты.

На последнем году обучения Николая даже хотели отчислить из университета, за «неповиновение, возмутительные поступки и признаки безбожия».

Тем не менее, Лобачевский все же смог с отличием окончить вуз и получить степень магистра по физике и математике. Талантливого ученика оставили при университете, однако потребовали от него полного повиновения.

Интересные факты

Изучая краткую биографию Лобачевского, следует знать, что он умер непризнанным. Позже огромную роль в признании трудов выдающегося учёного сыграли А. Пуанкаре, Ф. Клейна и Э. Бельтрами.
Когда Николай был еще гимназистом, он не пользовался любовью и уважением учителей. Они считали его “упорным вольнодумцем, имеющим огромное самомнение”. Это не мешало ему отлично учиться.
В своём имении, в Беловолжской Слободке, Лобачевский развёл великолепный сад и высадил рощу, которая дожила до наших дней. Высаживая кедры, он нередко говорил, что он едва ли дождется их плодов. Так оно и вышло. Первые кедровые орешки были сняты только после смерти выдающегося математика.

Как ректор Лобачевский общался со студентами

Как пишут биографы Лобачевского, студенты были его главной заботой. С каждым обратившимся с просьбой он старался подробно беседовать, если приходилось отказывать, мог дать хотя бы совет, но если была возможность помочь — помогал.

Например, как вспоминала его дочь Варвара Николаевна Ахлопкова, однажды к Лобачевскому пришёл Николай Розов, сын бедного священника, мечтавший о медицинском факультете. Оказалось, что визитёр добирался до Казани пешком из Нижегородской губернии. Лобачевский помог молодому человеку с поступлением на казённое (бесплатное) место, тот, выучившись, стал хирургом, защитил докторскую диссертацию, дослужился до высокого чина тайного советника, перебрался в столицу, где возглавил Ветеринарный комитет, — словом, выбился в люди.

Помогал Лобачевский и без просьб, по собственной инициативе: однажды, зайдя в торговую лавку, он застал там мальчика-приказчика за старательными вычислениями. Николай Иванович предложил ему учиться, договорился с хозяином и пристроил своего протеже в гимназию. Позднее тот блестяще окончил университет и стал профессором физики. Это был Иосиф Антонович Больцани.

К студенческим шалостям Лобачевский относился терпимо, хотя и журил нарушителей. Скорее всего, причиной его лояльности было то, что сам в годы своей учёбы как-то отсидел в карцере три дня на хлебе и воде за пиротехнические опыты — запустил ракету во дворе университета. В те же годы вопреки запретам он посещал маскарады. За эти выходки молодого Лобачевского чуть не отчислили, но спасло заступничество двух преподавателей — Мартина Бартельса и Франца Броннера.

А когда Лобачевский был ректором, один из его студентов разбил окно в церкви и был пойман полицией. Дело дошло до попечителя округа. Провинившегося могли отправить в солдаты, но ректор вмешался, и молодой человек окончил университет. Потом он получил хорошую должность в Сибири и, по воспоминаниям Варвары Ахлопковой, много лет спустя, когда отец её уже был слеп, навестил его и горячо благодарил.

При Лобачевском в университете стали обучать представителей коренных национальностей — татар, башкир, киргизов, калмыков, бурятов. По тем временам, когда дискриминация по национальности считалась обычным делом, это было передовое решение.

Русский рохля

Конечно же, за столь кропотливое дело мог взяться этакий ботаник – кабинетный ученый, не общающийся ни с кем, замкнутый в себе интеллигент. Такой человек, по мнению европейских светил, не должен быть приспособленным к жизни и непременно представлялся в виде рохли.
Но подобный шаблон отнюдь не подходил под описание такой личности, как Николай Лобачевский. Российский ученый на момент своего уникального открытия уже являлся ректором Казанского университета. Лобачевский был неоднократно замечен в юношеские годы во всевозможных происшествиях: катался, будучи студентом, на корове в городском саду, был заводилой в своей группе, даже неоднократно участвовал в мордобоях, после данных инцидентов всегда проводил время в карцере, куда его отправляли на обдумывание совершенных поступков.

Николая Лобачевского не любили в гимназии, в которой он учился.
Лобачевский со школьной скамьи отличался вольнодумствием и упорством. Что не мешало ему учиться на отлично.
Плохое поведение однажды чуть в корне не изменило жизнь юного математика, его хотели отчислить из учебного заведения и отправить на армейскую службу. Императорским правительством был издан указ, согласно которому всех студентов, отличающихся дурным поведением, надлежало отправлять в армию.
Лобачевский был талантливым студентом, его даже можно назвать юным гением. Этот человек в возрасте 19-ти лет получил степень магистрата, адъюнкта чистой математики – в 22 года, а в 24 – уже стал профессором.
У ученого имелась страсть к растениям, за которыми он любил ухаживать. В почете у него были кедры
. Однако он был убежден, что плодов от них при жизни не дождется. Так и вышло: шишки с кедра сняли спустя несколько месяцев после смерти талантливого математика.
Лобачевский интересовался не только точными науками, он увлекался и сельским хозяйством, за что неоднократно был награжден различного рода наградами и грамотами.
Талант Лобачевского не подлежит до сих пор ни капли сомнения, а его труды не забыты. Однако при жизни гений считал, что его открытия потомками будут забыты: это было его главной фобией. Его терзания и опасения были подогреты интенсивной критикой, направленной в его адрес.
Великий русский математик обладал даром убеждения
. Он, уже находясь на посту ректора, неоднократно наставлял своих студентов на путь истинный. Лобачевский никогда не повышал голос при разговоре, предпочитая крикам спокойную беседу. Студенты вспоминали о нем, как о замечательном человеке.
Лобачевский всего себя отдавал своим студентам, но вместе с тем он не допускал панибратства.
Европейский король математиков Карл Гаусс, прослышав про научные работы Лобачевского, принялся усердно изучать русский язык, чтобы в оригинале прочесть труды гения из Российской империи.
Николай Лобачевский добился огромного успеха в области точных наук, особенно он, конечно же, преуспел в геометрии, создав так называемую «неевклидовую геометрию».
Российский математик является автором нового метода решения уравнений, создав для этого некоторое количество теорем о тригонометрических рядах и изучив непрерывную функцию.
Лобачевский является автором ряда трудов по алгебре и математическому анализу, геометрии, теории вероятности, астрономии и физике.
Великий математик женился довольно поздно, в 44 года. Его избранницей стала оренбургско-казанская помещица Варвара Моисеева.

Еще термины по предмету «Философия»

Вненаучное знание

специфически оформленные знания, полученные на основе повседневного опыта людей, непосредственно не связанного с науч. деятельностью.

Нелинейность

многовариантность, альтернативность путей,темпов эволюции, ее необратимость, возможность непредсказуемых изменений течения процессов – в целом развитие через случайность выбора пути в точках бифуркации.
.

Неевклидова геометрия
Неевклидово пространство
Геометрия
Лобачевского геометрия (гиперболическая геометрия)
Эллиптическая геометрия (или Римана геометрия)
Геометрия (geometry)
Геометрия фигуры
Абсолютная геометрия
Алгебраическая геометрия
Аналитическая геометрия
Аффинная геометрия
Внешняя геометрия
Внутренняя геометрия
Дифференциальная геометрия
Евклидова геометрия
Конформная геометрия
Начертательная геометрия
Основания геометрии
Проективная геометрия
Римана геометрия

К геометри связностей неевклидовых пространств

Статья касается дифференциальной геометрии гиперполос многомерных проективных пространств с абсолютом. Рассмотрена тангенциально-вырожденная поверхность, ассоциированная с гиперполосою, в расширенном неевклидовом пространстве.Установлено, что тангенциально-вырожденной поверхностью индуцируются два двойственных пространства аффинной связности. Пространства получены в дифференциальной окрестности третього порядка образующего элемента гиперполосы внутренним инвариантным образом.Результаты исследования могут быть использованы в геометрическом моделировании и решении гидротехнических задач.

Н. г. в виде проективных моделей[править | править код]

Через точку Р проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямой» а

Пусть на проективной плоскости введены проективные однородные координаты (x1,x2,x3)(x_1, x_2, x_3) и задана некоторая овальная линия второго порядка, обозначаемая дальше буквой k, например

x12+x22−x32=x_1^2+ x_2^2-x_3^2=0

Каждое проективное отображение проективной плоскости на себя, которое оставляет на месте линию k, называется автоморфизмом относительно k. Каждый автоморфизм отображает внутренние точки линии k также во внутренние её точки. Множество всех автоморфизмов относительно линии k составляет группу. Пусть рассматриваются только точки проективной плоскости, лежащие внутри k; хорды линии k называются «прямыми». Две фигуры пусть считаются равными, если одна из них переводится в другую некоторым автоморфизмом. Так как автоморфизмы составляют группу, то имеют место основные свойства равенства фигур: если фигура А равна фигуре В, то В равна А; если фигура А равна фигуре В, а В равна фигуре С, то А. равна С. В получаемой т. о. геометрические теории будут соблюдены требования всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных: вместо этой последней аксиомы соблюдается аксиома о параллельных Лобачевского (см. рисунок). Тем самым получается истолкование (двумерной) геометрии Лобачевского при помощи объектов проективной плоскости или, как говорят, проективная модель геометрии Лобачевского; линию k называют абсолютом этой модели. Автоморфизмы относительно k играют роль движений. Поэтому геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию, изучающую свойства фигур и связанные с фигурами величины, которые остаются неизменными при автоморфизмах; короче говоря, геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию инвариантов группы автоморфизмов относительно овального абсолюта.

Геометрия Римана (двумерная) допускает сходное истолкование; именно она является теорией инвариантов относительно нулевого абсолюта

x12+x22+x32=,(10)x_1^2+x_2^2+x_3^2 = 0,\,\,\,(10)

При этом в качестве точек и прямых модели берутся все точки и прямые проективной плоскости; автоморфизмы определяются чисто алгебраически как линейные преобразования, которые переводят уравнение (10) в уравнение того же вида.

Евклидову геометрию также можно рассматривать как теорию инвариантов некоторой группы проективных преобразований, именно, группы автоморфизмов относительно вырожденного абсолюта

x12+x22=,x3=x_1^2 + x_2^2 = 0, x_3 = 0

то есть относительно мнимых точек (1, i, 0), (1, —i, 0); эти точки называют круговыми точками. Предметом модели являются все точки проективной плоскости, кроме точек прямой x3=x_3 = 0, и все прямые проективной плоскости, кроме прямой x3=x_3 = 0. В последнем случае автоморфизмы играют роль подобных преобразований, а не движений, как в случае Н. г.
Рассмотренные модели относятся к двумерным геометриям; проективные модели высших размерностей строятся аналогично.

Соответственно характеру уравнений абсолютов, геометрия Лобачевского называется гиперболической, геометрия Римана — эллиптической, геометрия Евклида — параболической.

Н. г. имеют существенные приложения в математике (теории аналитических функций, теории групп и др.) и смежных с нею областях (например, в теории относительности). Эти приложения основаны на том, что разнообразные конкретные модели Н. г. связаны с различными объектами и понятиями указанных разделов математики и смежных с нею областей.

Упорный Лобачевский

Несмотря на выпады критиков, Лобачевский был непреклонен и не только не отказывался от своей «воображаемой» геометрии, но и продолжал печатать свои труды по ней. В 1835 году в «Ученых записках Императорского Казанского университета» (бывшем «Казанском вестнике») вышла его «Воображаемая геометрия», а в 1835–1838-м — «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».

Портрет Николая Лобачевского предположительно работы Льва Крюкова, первая половина XIX века. Источник

Не найдя соратников в своей стране, Лобачевский опубликовал «Воображаемую геометрию» на французском языке в авторитетном журнале немецкого математика и архитектора Августа Леопольда Крелле. А в 1840 году на немецком вышла его небольшая книга «Геометрические исследования по теории параллельных». О трудах казанского профессора узнали в Европе, но не то чтобы они произвели там фурор.

Среди тех, кому на глаза попались «Геометрические исследования…», был и Карл Фридрих Гаусс — создатель теории чисел и поверхностей, а также понятия полной кривизны, «король математиков», или «принцепс математикорум», как его называли. Знаменитый немецкий ученый высоко оценил изыскания Лобачевского, заметив, что и сам много мыслил в этом направлении. Вот что он говорил о работе Лобачевского в письме астроному Генриху Шумахеру 1846 года:

Вот только открыто об этом Гаусс не сказал. Он признавал «воображаемую» геометрию только в дневниках и личной переписке на условиях анонимности. Ученый считал, что общество еще не готово к неевклидовой геометрии, и боялся криков «беотийцев», то есть невежд. Поэтому он предпочел быть никак не связанным с громким, но вызывавшим столько споров открытием. Вот как он сам об этом говорил в письмах венгерскому математику, отцу Яноша Бойяи Фаркашу Бойяи и немецкому математику Фридриху Вильгельму Бесселю:

Опасливость, а быть может, и ревность к первенству в научных открытиях Гаусса сыграли дурную шутку с другим первооткрывателем неевклидовой геометрии — венгерским военным инженером Яношем Бойяи. На рубеже 1820–1830-х годов он независимо от Лобачевского пришел к тем же выводам и отправил Гауссу на отзыв свою работу (она была опубликована позже — в 1832 году). Холодный ответ «короля математиков», который заявил, что работает над темой уже 30–35 лет, разозлил Бойяи и расстроил его нервы. А когда Гаусс прислал Бойяи работу Лобачевского, тот и вовсе вышел из равновесия. Он заподозрил коллег в плагиате, пытался опровергнуть их, а по сути и свои собственные, идеи. Так и не вернувшись к нормальному состоянию, он больше не довел ни одного труда до конца. Лобачевский же о существовании Бойяи, судя по всему, так и не узнал.

К казанскому коллеге Гаусс, похоже, был более благосклонен. Именно он рекомендовал принять Лобачевского как одного из лучших математиков России в члены-корреспонденты Геттингенского королевского научного общества. По сути, это было единственное прижизненное признание научных заслуг Николая Ивановича. Поговаривают также, что у Гаусса были почти все сочинения Лобачевского. Но прямо своих симпатий ему немецкий математик так и не высказал.

На родине же Лобачевский за год до смерти стал почетным членом Московского университета. А поддержал его идеи только профессор механики Казанского университета Петр Котельников. В своей речи 1842 года он отметил, что «воображаемую» геометрию рано или поздно ждет признание. Что характерно, в тот же год Остроградский дал новую отповедь трудам Лобачевского по решению некоторых проблем анализа.

И хотя Лобачевского уважали как деятеля высшей школы, о его геометрии, как вспоминал Александр Бутлеров, продолжали говорить «с улыбкою снисходительного отношения к чудаку ученому». Коллеги-соотечественники обходили его труды стороной. Например, профессор Виктор Буняковский, разбирая различные доказательства постулата Евклида о параллельных прямых, даже не упомянул о «воображаемой» геометрии.

Научные открытия

Слава пришла к Лобачевскому, когда он стал ректором Казанского университета. До него учебным заведением управлял Магнитский, и это привело к серьезному упадку. Николай Иванович восстановил университет.

Лобачевский сумел опровергнуть пятый постулат Евклидовой геометрии. В 1826 году он предоставил свои размышления в виде доклада, но они не получили должного интереса со стороны научного общества. Математик попробовал опубликовать свои работы, но безуспешно.

Неевклидовой геометрией заинтересовался Гаусс. Он тоже учился у Бартельса, неудивительно, что у него были такие же теории, как и у Лобачевского. Гаусс признавал заслуги русского математика.

К достижениям Лобачевского можно отнести:

Разработал метод решения приближенного решения уравнений.
Создал теоремы о тригонометрических рядах.
Уточнил понятие непрерывной функции.

Кинематические геометрии

Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематике с помощью физическая космология введена Германом Минковским в 1908 году. Минковский ввел такие термины, как мировая линия и собственное время в математическую физику. Он понял, что подмногообразие событий в один момент собственного времени в будущем может рассматриваться гиперболическим пространством трех измерений. Уже в 1890-х годах Александр Макфарлейн рисовал это подмногообразие с помощью своей и гиперболических кватернионов, хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как это делал Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется моделью гиперболоида гиперболической геометрии.

Неевклидовы плоские алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, разделенное комплексное число z = e может представлять пространственно-временное событие в один момент будущего в системе отсчета с скоростью a. Кроме того, умножение на z равняется бусту Лоренца, отображающему кадр с нулевой скоростью в кадр с быстротой a.

Кинематическое исследование использует двойные числа z = x + y ϵ, ϵ 2 = 0, {\ displaystyle z = x + y \ epsilon, \ quad \ epsilon ^ {2} = 0,}для представления классического описания движения в абсолютном времени и пространстве : уравнения x ′ = x + vt, t ′ = t { \ displaystyle x ^ {\ prime} = x + vt, \ quad t ^ {\ prime} = t}эквивалентны отображению сдвига в линейной алгебре:

( x ′ t ′) = (1 v 0 1) (xt). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x ‘\\ t’ \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 v \\ 0 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \ end {pmatrix}}.}

С двойными числами отображение: t ′ + x ′ ϵ = (1 + v ϵ) (t + x ϵ) = t + (x + vt) ϵ. {\ displaystyle t ^ {\ prime} + x ^ {\ prime} \ epsilon = (1 + v \ epsilon) (t + x \ epsilon) = t + (x + vt) \ epsilon.}

Другой вид специальная теория относительности как неевклидова геометрия была выдвинута Э. Б. Уилсон и Гилберт Льюис в Proceedings of Американской академии искусств и наук в 1912 году. Они изменили аналитическую геометрию, заложенную в алгебре расщепленных комплексных чисел, на синтетическая геометрия предпосылок и выводов.

Необычные свойства

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии

Четырехугольники Саккери в трех геометриях

Евклидова и неевклидова геометрии, естественно, обладают многими схожими свойствами, а именно теми, которые не зависят от природы параллелизм. Эта общность является предметом абсолютной геометрии (также называемой нейтральной геометрией)

Однако исторически наибольшее внимание уделялось свойствам, которые отличают одну геометрию от других

Помимо поведения прямых относительно общего перпендикуляра, упомянутого во введении, мы также имеем следующее:

A Четырехугольник Ламберта — это четырехугольник с тремя прямыми углами. Четвертым углом четырехугольника Ламберта является острый, если геометрия гиперболическая, прямой угол, если геометрия евклидова, или тупой, если геометрия эллиптическая. Следовательно, прямоугольники существуют (утверждение, эквивалентное постулату параллельности) только в евклидовой геометрии.
A Четырехугольник Саккери — четырехугольник с двумя сторонами одинаковой длины, перпендикулярными стороне, называемой основанием.. Два других угла четырехугольника Саккери называются вершинными углами и имеют одинаковую меру. Вершины четырехугольника Саккери острые, если геометрия гиперболическая, прямые углы, если геометрия евклидова, и тупые углы, если геометрия эллиптическая.
Сумма углов любого треугольника меньше чем 180 °, если геометрия является гиперболической, равной 180 °, если геометрия евклидова, и больше 180 °, если геометрия эллиптическая. Дефектом треугольника является числовое значение (180 ° — сумма мер углов треугольника). Этот результат можно также сформулировать так: дефект треугольников в гиперболической геометрии положительный, дефект треугольников в евклидовой геометрии равен нулю, а дефект треугольников в эллиптической геометрии отрицательный.

Аксиоматическая основа неевклидовой геометрии

Евклидова Геометрия может быть аксиоматически описана несколькими способами. К сожалению, исходная система пяти постулатов (аксиом) Евклида не входит в их число, так как его доказательства основывались на нескольких неустановленных предположениях, которые также следовало принять в качестве аксиом. Система Гильберта, состоящая из 20 аксиом, наиболее точно следует подходу Евклида и обеспечивает обоснование всех доказательств Евклида. Другие системы, использующие разные наборы неопределенных терминов, получают ту же геометрию разными путями. Однако все подходы имеют аксиому, которая логически эквивалентна пятому постулату Евклида, постулату параллельности. Гильберт использует форму аксиомы Плейфэра, а Биркгоф, например, использует аксиому, которая гласит: «Существует пара похожих, но не совпадающих треугольников». В любой из этих систем удаление одной аксиомы, эквивалентной постулату параллельности, в какой бы форме она ни принималась, и оставление всех остальных аксиом нетронутыми, дает абсолютную геометрию. Поскольку первые 28 положений Евклида (в «Элементах») не требуют использования постулата параллельности или чего-либо эквивалентного ему, все они являются истинными утверждениями в абсолютной геометрии.

Чтобы получить неевклидову геометрию, постулат параллельности (или его эквивалент) должен быть заменен его отрицанием. Отрицание формы аксиомы Playfair, поскольку это составное утверждение (… существует один и только один…), можно сделать двумя способами:

Либо будет существовать более одного линия, проходящая через точку, параллельную данной прямой, иначе не будет прямых, проходящих через точку, параллельную данной прямой. В первом случае, заменяя постулат параллельности (или его эквивалент) утверждением «В плоскости, если дана точка P и прямая l, не проходящая через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекаются с l» и сохраняя все остальные аксиомы дают гиперболическую геометрию.
Второй случай не так легко разрешается. Простая замена постулата параллельности утверждением: «В плоскости, если дана точка P и прямая l, не проходящая через P, все прямые, проходящие через P, пересекаются с l», не дает последовательного набора аксиом. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии, но это утверждение говорит об отсутствии параллельных прямых. Эта проблема была известна (в другом виде) Хайяму, Саккери и Ламберту и послужила основанием для их отказа от так называемого «случая тупого угла». Чтобы получить непротиворечивый набор аксиом, включающий эту аксиому об отсутствии параллельных прямых, необходимо изменить некоторые другие аксиомы. Эти корректировки зависят от используемой системы аксиом. Среди прочего, эти настройки имеют эффект модификации второго постулата Евклида от утверждения, что отрезки линии могут быть неограниченно продолжены, до утверждения, что линии не ограничены. эллиптическая геометрия Римана возникает как наиболее естественная геометрия, удовлетворяющая этой аксиоме.

О рациональной тригонометрии в евклидовой и неевклидовой геометриях

Основные понятия и законы рациональной тригонометрии для евклидовой геометрии впервые сформулированы в 2005 г. Н.Дж. Уайлдбер-гером. Позднее он расширяет ее понятия для гиперболической геометрии. Суть «новой» тригонометрии заключается в переопределении тригонометрических соотношений без использования тригонометрических функций с помощью введения вместо традиционных расстояний и углов таких понятий, как квадрация (quadrance) и апертура (spread). Данный подход позволяет отказаться от использования тригонометрических таблиц и, как следствие, приближенных вычислений, т. е. он зачастую оказывается более точным. Несмотря на то, что идеи рациональной тригонометрии вызвали неоднозначное впечатление у математического сообщества, ее методы нашли применение в решении теоретических и практических задач геометрии, комбинаторики, робототехники. В настоящей работе в терминах рациональной тригонометрии получены формулы для вычисления скалярного и модуля векторного произведений векторов евклидова пр…

Геометрия Лобачевского

Разрешить проблему параллелей удалось русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому. Однако доказательство было выполнено косвенно. Он просто допустил, что пятый постулат неверен, и на основании этого вывел новую (так называемую не евклидову) геометрию. Тот факт, что новая геометрия непротиворечива, удалось доказать лишь спустя тридцать лет. Отсюда следует, что проблема параллелей снимается сама собой.

«Непересекаемость» бесконечно длинных параллельных прямых кажется для нас
очевидной, однако доказать справедливость этого утверждения напрямую невозможно

Лобачевский вместо пятого постулата сформулировал новую аксиому параллельных прямых, которая по смыслу оказалась прямо противоположна пятому постулату Евклида:

Через точку вне прямой можно провести не одну прямую, не встречающуюся с данной прямой, а по крайней мере две.

Если из точки С, расположенной вне прямой AB, опустить на прямую AB
перпендикуляр СD, а затем еще к прямой CD построить перпендикуляр CN, то легко
доказывается, что NN (прямая, полученная продолжением CN) будет параллельна
прямой AB. Из пятого постулата Евклида следует, что из всех прямых плоскости ABC,
которые проходят через точку С, только одна прямая NN не будет встречаться с прямой
AB. Нам кажется это очевидным! Однако Лобачевский отказался от этого утверждения
и допустил, что через точку С проходит по крайней мере еще одна прямая (например,
CL), которая тоже не пересекает AB

На основании этой теоремы и остальных четырех постулатов абсолютной геометрии Лобачевский и получил свою, которая была так же логически безупречна, как и геометрия Евклида.

Аксиома Лобачевского на первый взгляд может показаться абсурдной или как минимум странной. Кажется, что он подменяет очевидное неочевидным, противоречит установившимся геометрическим представлениям. Но если этот вопрос рассмотреть глубже, то неочевидность именно пятого постулата Евклида будет налицо.

Так, если внимательно прочитать первые четыре постулата Евклида, можно заметить, что они относятся к фигурам ограниченного размера, а пятый — нет. Он оперирует неограниченной, бесконечной прямой. В итоге если мы захотим проверить правильность данного постулата на практике, то не сможем это сделать, поскольку такой эксперимент осуществить невозможно. Можно представить следующую ситуацию. Например, если предположить, что угол MCL очень маленький, а затем продлить отрезки CL и AB, то, даже обладая необширной фантазией, можно представить, что при таких условиях эти прямые не пересекутся даже на расстоянии, выходящем за пределы нашей планеты! В то же время если взять какую-либо ограниченную часть пространства, например круг, то каким бы большим он ни был, мы можем провести множество прямых, проходящих через точку С и не пересекающих прямую AB.

Первая страница сочинения Н. И. Лобачевского «О началах геометрии» (1829–
1830). Первое опубликованное исследование в области неевклидовой геометрии
не было признано Российской Академией наук. «Автор, по-видимому, задался целью
писать таким образом, чтобы его нельзя было понять», — так написал в рапорте
известный математик и академик М. В. Остроградский

Поэтому нет никаких оснований считать утверждение Лобачевского неправильным.

Отличие двух противоположных по своей сути предположений заключается только в том, что евклидов постулат более понятен человеческому сознанию.

В ограниченном пространстве (круге) через точку С можно провести более одной
прямой (CL и CM), не пересекающей прямую AB

Он соответствует нашему обыденному восприятию, в конце концов мы к нему привыкли… В этом случае можно вспомнить, что у древних было распространено представление, будто Земля плоская, а факт, что она круглая (как предполагала революционная гелиоцентрическая теория Коперника), полностью отрицался. Однако в отличие от теории Коперника, в которой говорилось об ином расположении и движении тел в пространстве, понимание идеи Лобачевского требует более абстрактного мышления.

Неудивительно, что свою геометрию Лобачевский назвал воображаемой, а Евклидову — употребительной, что подчеркивало ее более естественные основы. Более того, в поздних трудах для своей новой теории ученый применял термин «пангеометрия» (всеобщая геометрия). Такое название подчеркивало, что геометрия Евклида — всего лишь частный (предельный) случай геометрии Лобачевского.